Moving Media Sinusoidale

JEE Syllabus JEE Matematica Programma Algebra di numeri complessi, inoltre, moltiplicazione, coniugazione, rappresentazione polare, proprietà del modulo e l'argomento principale, disuguaglianza triangolare, radici cubiche dell'unità, interpretazioni geometriche. equazioni di secondo grado a coefficienti reali, i rapporti tra radici e coefficienti, formazione di equazioni di secondo grado con determinate radici, funzioni simmetriche di radici. Aritmetica, geometrica e progressioni armoniche, aritmetica, geometrica e armonica, somme dell'aritmetica finita e progressioni geometriche, infinita serie geometrica, somme dei quadrati e cubi dei primi n numeri naturali. Logaritmi e loro proprietà. Permutazioni e combinazioni, teorema binomiale per un indice integrante positivo, proprietà dei coefficienti binomiali. Matrici come una matrice rettangolare di numeri reali, uguaglianza di matrici, addizione, moltiplicazione per uno scalare e il prodotto di matrici, trasposizione di una matrice, determinante di una matrice quadrata di ordine fino a tre, inversa di una matrice quadrata di ordine fino a tre , le proprietà di queste operazioni a matrice, diagonali, simmetriche e antisimmetrica matrici e le loro proprietà, soluzioni di equazioni lineari in due o tre variabili. Addizione e moltiplicazione regole della probabilità, probabilità condizionata, indipendenza degli eventi, calcolo delle probabilità di eventi utilizzando permutazioni e combinazioni. Funzioni trigonometriche, la loro periodicità e grafici, formule di addizione e sottrazione, formule che coinvolgono molteplici e sub-più angolazioni, soluzione generale delle equazioni trigonometriche. I rapporti tra i lati e gli angoli di un triangolo, regola seno, coseno regola, formula a metà l'angolo e l'area di un triangolo, funzioni trigonometriche inverse (valore principale solo). Due dimensioni. coordinate cartesiane, distanza tra due punti, formule sezione, spostamento di origine. Equazione di una retta in varie forme, angolo tra due linee, la distanza di un punto da una linea. Linee attraverso il punto di intersezione di due linee indicate, equazione della bisettrice dell'angolo tra due linee, concorrenza di linee, centroide, ortocentro, incentre e circumcentre di un triangolo. Equazione di un cerchio in varie forme, equazioni di tangente, normale e corda. equazioni parametriche di un cerchio, intersezione di un cerchio con una linea retta o un cerchio, equazione di un cerchio per i punti di intersezione di due cerchi e quelli di un cerchio e una linea retta. Equazioni di una parabola, ellisse e un'iperbole in forma standard, i loro fuochi, direttrici ed eccentricità, equazioni parametriche, le equazioni di tangenti e normale. Tre dimensioni. coseni di direzione e rapporti di direzione, equazione di una retta nello spazio, equazione di un piano, a distanza di un punto da un aereo. Reale funzioni di una variabile reale valore, in, su e one-to-one, somma, differenza, prodotto e quoziente di due funzioni, funzioni composite, valore assoluto, polinomiale, razionali, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche. Limite e continuità di una funzione, il limite e la continuità della somma, differenza, prodotto e quoziente di due funzioni, lHospital stato di valutazione dei limiti di funzioni. Funzioni pari e dispari, inversa di una funzione, la continuità di funzioni composte, di proprietà valore intermedio delle funzioni continue. Derivata di una funzione, derivata della somma, differenza, prodotto e quoziente di due funzioni, regola della catena, derivati ​​del polinomio, razionale, trigonometriche, trigonometriche inverse, esponenziali e logaritmiche. Derivati ​​di funzioni implicite, derivati ​​fino a ordinare due, interpretazione geometrica dei derivati, tangenti e normali, aumentando e le funzioni, i valori massimi e minimi di una funzione, applicazioni di Teorema di Rolle e Lagranges Teorema di Lagrange in diminuzione. L'integrazione come il processo inverso di differenziazione, integrali indefiniti di funzioni standard, integrali definiti e le loro proprietà, l'applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti, l'integrazione con i metodi di sostituzione e frazioni parziali, applicazione di integrali definiti per la determinazione delle superfici coinvolgono curve semplici. La formazione di equazioni differenziali ordinarie, soluzione di equazioni differenziali omogenee, le variabili di metodo separabili, prime equazioni differenziali lineari ordine. L'aggiunta di vettori, moltiplicazione scalare, prodotti scalari, punti e prodotti incrociati, prodotto misto scalari e le loro interpretazioni geometriche. argomenti JEE Chimica Programma generali. Il concetto di atomi e molecole Dalton teoria Mole formule chimiche concetto atomiche Balanced equazioni chimiche Calcoli (basato sul concetto di mole) che coinvolge comuni di ossido-riduzione, neutralizzazione, e reazioni di spostamento concentrazione in termini di frazione molare, molarità, molalità e normalità. gli stati gassosi e liquidi. scala assoluta della temperatura, ideale equazione gas Deviazione dalla idealità, van der Waals equazione teoria cinetica dei gas, media, radice della media velocità quadrati e più probabili e la loro relazione con la legge la temperatura della pressione pressioni parziali di vapore diffusione dei gas. Struttura atomica e chimica di legame: modello di Bohr, spettro dell'atomo di idrogeno, numeri quantici dualità onda-particella, de Broglie ipotesi principio di indeterminazione quantistica immagine meccanico di idrogeno (trattamento qualitativa), forme di s, P e D orbitali configurazioni elettroniche degli elementi ( fino al numero atomico 36) Aufbau principio Paulis principio di esclusione e Hunds governare sovrapposizione orbitale e covalente ibridazione legame che coinvolge s, P e D orbitali solo diagrammi energia orbitale per omonucleari diatomico specie idrogeno polarità legame nelle molecole, momento di dipolo (solo aspetti qualitativi) modello VSEPR e le forme di molecole (lineari, angolari, di forma triangolare, quadrata planari, piramidali, piramidali piazza, trigonale bipyramidal, tetraedrici e ottaedrici). Energetica. Prima legge della termodinamica energia interna, lavoro e calore, pressione-volume di lavoro entalpia, Hesss legge calore di reazione, la fusione e vaporizzazione Secondo principio della termodinamica dell'entropia Criterio Energia libera di spontaneità. Equilibrio chimico . Legge dell'Equilibrio azione di massa costante, principio di Le Chateliers (effetto della concentrazione, temperatura e pressione) Importanza DG e DGO in Prodotto di solubilità equilibrio chimico, effetto dello ione comune, pH e tampone soluzioni Acidi e basi (Bronsted e concetti Lewis) idrolisi di sali . Elettrochimica. celle elettrochimiche e cellulari reazioni potenziali di elettrodo equazione di Nernst e la sua relazione con serie DG elettrochimica, fem di celle galvaniche Faradays leggi dell'elettrolisi conducibilità elettrolitica, conducibilità specifica, equivalenti e molare, Kohlrauschs cellule legge concentrazione. Cinetica chimica. I tassi di reazioni chimiche ordine di reazione Tasso reazioni del primo ordine costante dipendenza dalla temperatura costante di velocità (Arrhenius). Stato solido . Classificazione dei solidi, stato cristallino, sette sistemi cristallini (parametri di cella a, b, c, a, b, g), struttura vicino al sacco di solidi (cubo), imballaggio in FCC, bcc, recinti HCP vicini vicini, raggi ionici, semplici composti ionici, difetti di punto. Soluzioni. Legge di Raoult determinazione del peso molecolare da abbassamento della pressione di vapore, l'elevazione del punto e depressione del punto di congelamento ebollizione. chimica di superficie. Concetti elementari di adsorbimento (escluse le isoterme di adsorbimento) Colloidi: tipologie, metodi di preparazione e le caratteristiche generali idee elementari di emulsioni, tensioattivi e micelle (solo definizioni ed esempi). chimica nucleare. Radioattività: isotopi e isobare proprietà di A, B e G raggi Cinetica di decadimento radioattivo (serie di decadimento escluso), datazione al carbonio di stabilità dei nuclei rispetto al rapporto di protone-neutrone breve discussione sulle reazioni di fissione e fusione. Isolationpreparation e proprietà dei seguenti non metalli. Boro, silicio, azoto, fosforo, ossigeno, zolfo e alogeni Proprietà di allotropi di carbonio (solo diamante e grafite), fosforo e zolfo. Preparazione e proprietà dei seguenti composti: ossidi, perossidi, idrossidi, carbonati, bicarbonati, cloruri e solfati di sodio, potassio, magnesio e calcio boro. diborano, acido borico e il borace Alluminio: allumina, cloruro di alluminio e allumi Carbon: ossidi e ossiacido (acido carbonico) Silicio: siliconi, silicati e carburo di silicio azoto: ossidi, ossiacidi e ammoniaca Fosforo: ossidi, ossiacidi (acido fosforo, acido fosforico) e fosfina ossigeno: l'ozono e perossido di idrogeno zolfo: idrogeno solforato, ossidi, acido solforoso, acido solforico e tiosolfato di sodio Alogeni: acidi alogenidrici, ossidi e ossiacidi di cloro, candeggio polvere fluoruri Xenon fertilizzanti: disponibile in commercio (comune) tipo NPK. elementi di transizione (serie 3D). Definizione, caratteristiche generali, stati di ossidazione e le loro stabilità, il colore (escludendo i dettagli di transizioni elettroniche) e calcolo di spin-unico momento magnetico Composti di coordinazione: nomenclatura dei composti di coordinazione mononucleari, isomerisms cis-trans e ionizzazione, ibridazione e geometrie di coordinamento mononucleari composti (lineare, tetraedrica, planari quadrati e ottaedrici). Preparazione e proprietà dei seguenti composti. Ossidi e cloruri di stagno e piombo Ossidi, cloruri e solfati di Fe2, Cu2 e permanganato di potassio Zn2, bicromato di potassio, ossido di argento, nitrato d'argento, tiosolfato di argento. Minerali e minerali. Comunemente si verificano minerali e minerali di ferro, rame, stagno, piombo, magnesio, alluminio, zinco e argento. metallurgia estrattiva. principi chimici e reazioni solo (industriale dettagli esclusa) metodo di riduzione di carbonio (ferro e stagno) metodo di riduzione Sé (rame e piombo) metodo di riduzione elettrolitica (magnesio e alluminio) di processo Cianuro (argento e oro). Principi di analisi qualitativa. I gruppi a V (solo Ag, Hg2, Cu2, Pb2, Bi3, Fe3, Cr3, Al3, Ca2, Ba2, Zn2, Mn2 e Mg2) Nitrati, alogenuri (escluso il fluoro), il solfato, il solfuro e solfito. Concetti. Ibridazione di carbonio Sigma e pi-bond Forme di molecole strutturali e isomeria geometrica isomeria ottica di composti contenenti fino a due centri asimmetrici, (R, S ed E, Z nomenclatura escluso) nomenclatura IUPAC dei composti organici semplici (solo idrocarburi, mono-funzionale e composti bi-funzionali) conformazioni di etano e butano (proiezioni Newman) risonanza e iperconiugazione cheto-enolica Determinazione della formula empirica e molecolare di composti semplici (solo metodo di combustione) legami idrogeno: definizione ed i loro effetti sulle proprietà fisiche di alcoli e carbossilico acidi induttivo ed effetti di risonanza di acidità e basicità di acidi organici e basi polarità ed effetti induttivi in ​​alogenuri alchilici intermedi reattivi prodotti durante omolitica e eterolitica formazione del legame clivaggio, struttura e la stabilità dei carbocationi, carbanioni e radicali liberi. Preparazione, proprietà e reazioni degli alcani. serie omologa, proprietà fisiche di alcani (punti di fusione, punto di ebollizione e densità) di combustione e alogenazione degli alcani Preparazione di alcani da reazioni di reazione e di decarbossilazione Wurtz. Preparazione, proprietà e reazioni degli alcheni e alchini. Le proprietà fisiche di alcheni ed alchini (punti di ebollizione, densità e dipolo momenti) Acidità degli alchini acido catalizzato l'idratazione di alcheni ed alchini (escludendo la stereochimica di aggiunta ed eliminazione) Reazioni degli alcheni con KMnO4 e riduzione dell'ozono di alcheni e preparazione alchini di alcheni e alchini di reazioni di eliminazione reazioni di addizione elettrofila di alcheni con X2, HX, HOX e H2O (Xhalogen) reazioni di addizione di acetiluri alchini metallo. Reazioni del benzene. Reazioni di sostituzione elettrofila Struttura e aromaticità: alogenazione, nitrazione, solfonazione, alchilazione di Friedel-Crafts e acilazione Effetto di gruppi o-, m - e p-regia nel benzeni monosostituiti. Fenoli. L'acidità, reazioni di sostituzione elettrofila (alogenazione, nitrazione e solfonazione) reazione Reimer-Tieman, reazione Kolbe. reazioni caratteristici del seguente (compresi quelli di cui sopra). alogenuri alchilici: reazioni di riarrangiamento di alchil carbocatione, reazioni di Grignard, reazioni di sostituzione nucleofila alcoli: esterificazione, la disidratazione e l'ossidazione, la reazione con il sodio, alogenuri di fosforo, ZnCl2conc.-HCl, la conversione di alcoli in aldeidi e chetoni aldeidi e chetoni: ossidazione, riduzione, Le reazioni ossima e idrazone formazione condensazione aldolica, reazione di Perkin reazione di Cannizzaro reazione dell'aloformio e addizione nucleofila (Grignard aggiunta) acidi carbossilici: formazione di esteri, cloruri di acidi e amidi, ammine idrolisi: basicità di aniline sostituite e ammine alifatici, preparazione di composti nitro, reazione con acido nitroso, AZO reazione di accoppiamento di sali di diazonio di ammine aromatiche, Sandmeyer e reazioni correlate di sali di diazonio carbylamine haloarenes di reazione: sostituzione nucleofila aromatica in haloarenes e haloarenes sostituiti - (esclusi meccanismo benzino e la sostituzione Cine). Carboidrati. Classificazione mono e di-saccaridi (glucosio e saccarosio) ossidazione, riduzione, formazione glicoside e idrolisi di saccarosio. aminoacidi e peptidi. La struttura generale (solo struttura primaria per i peptidi) e le proprietà fisiche. Proprietà e usi di alcuni polimeri importanti. Gomma naturale, cellulosa, nylon, teflon e PVC. Pratico chimica organica. Il rilevamento di elementi (N, S, alogeni) individuare e identificare i seguenti gruppi funzionali: ossidrile (fenolico alcolica e), carbonilici (aldeidi e chetoni), carbossilico, amino e metodi chimici nitro di separazione dei composti organici mono-funzionale dal binario miscele. JEE programma di fisica generale. Unità e dimensioni, analisi dimensionale almeno conteggio, figure significative metodi di misurazione e analisi degli errori per grandezze fisiche appartenenti alle seguenti esperimenti: esperimenti basati sull'utilizzo di calibri e vite calibro (micrometro), Determinazione di g con pendolo semplice, Youngs modulo da Searles metodo, calore specifico di un liquido mediante calorimetro lunghezza focale di uno specchio concavo ed un metodo uv lente convessa utilizzando, velocità del suono usando colonna di risonanza, verifica della legge Ohm con voltmetro e amperometro, e resistenza specifica del materiale di un filo usando meter bridge e casella postale. Meccanica. Cinematica in una e due dimensioni (le coordinate cartesiane solo), proiettili moto circolare (uniformi e non uniformi) velocità relativa. Newton leggi del moto inerziale e cornici uniformemente accelerato di riferimento statico e attrito dinamico cinetica e potenziale lavoro di energia e il risparmio energetico della quantità di moto ed energia meccanica. Sistemi di particelle Centro di massa e il suo movimento Impulse elastici e urti anelastici. Legge di gravitazione potenziale gravitazionale e campo accelerazione di gravità di movimento dei pianeti e dei satelliti in orbite circolari. Corpo rigido, momento di inerzia, parallele e perpendicolari assi teoremi, momento di inerzia dei corpi uniformi con semplici forme geometriche Momento angolare Conservazione della coppia di Dynamics momento angolare del corpo rigido con asse fisso di rotazione rotolamento senza scivolare di anelli, cilindri e sfere equilibrio di rigida corpi collisione di masse punti con corpi rigidi. Lineari e angolari semplici movimenti armonici. Legge di Hooke, Youngs modulo. Pressione in un'energia Pascal fluidi legge galleggiamento di superficie e la tensione superficiale, capillare aumento di viscosità (equazione Poiseuilles escluso), la velocità legge Terminal Stokes, Streamline flusso, Equazione di continuità, Bernoulli teorema e le sue applicazioni. moto ondoso (onde piane solo), le onde longitudinali e trasversali, sovrapposizione di onde progressive e onde stazionarie vibrazione delle corde e colonne d'aria. Risonanza Beats Velocità del suono in effetti gas Doppler (suono). fisica termica. dilatazione termica dei solidi, liquidi e gas calorimetria, latente conduzione di calore di calore in una dimensione concetti elementari del diritto convezione e radiazione Newton di raffreddamento leggi dei gas perfetti Calori specifici (Cv e Cp per gas monoatomico e biatomici) isotermiche e adiabatica processi, modulo di compressione di gas Equivalenza di calore e lavoro prima legge della termodinamica e le sue applicazioni (solo per gas ideali). radiazione di corpo nero: assorbimento e poteri emissivi legge Kirchhoff, legge dello spostamento Wiens, legge Stefans. Elettricità e magnetismo. Forza di Coulomb campo elettrico e potenziale elettrico energia potenziale di un sistema di cariche puntiformi e di dipoli elettrici in un campo elettrostatico uniforme, linee di campo elettrico Flusso del campo elettrico legge Gausss e la sua applicazione nei casi più semplici, come, per trovare campo a causa infinitamente lungo filo rettilineo, uniformemente carica foglio piano infinito e uniforme carica guscio sferico sottile. Capacità condensatore a piastre parallele con e senza condensatori dielettrici in serie e parallelo energia immagazzinata in un condensatore. Corrente elettrica: Ohm legge Series e le modalità parallele di resistenze e le leggi cellule Kirchhoff e semplice effetto applicazioni di riscaldamento della corrente. legge di Biot-Savart e legge Ampere, campo magnetico in prossimità di un portatore di corrente filo rettilineo, lungo l'asse di una bobina circolare e all'interno di un lungo Force solenoide rettilineo su una carica in moto e su un filo da corrente in un campo magnetico uniforme. momento magnetico di una corrente Effetto ciclo di un campo magnetico uniforme in un loop di corrente Moving galvanometro bobina, voltmetro, amperometro e loro conversioni. Induzione elettromagnetica . legge Faradays, Lenzs legge Sé e mutua induttanza RC, circuiti LR e LC con d. c. e in corrente alternata fonti. Ottica. propagazione rettilinea della riflessione e rifrazione della luce a superfici piane e sferiche scostamento totale riflessione interna e la dispersione della luce da un prisma lenti sottili combinazioni di specchi e lenti sottili ingrandimento. Saluto natura della luce. Huygens linea di principio, l'interferenza limitato a Youngs esperimento della doppia fenditura. La fisica moderna. nucleo atomico alfa, beta e gamma radiazioni legge del decadimento radioattivo Decadimento costante Half-life e significare la vita energia di legame e la sua fissione e la fusione di calcolo processi di calcolo di energia in questi processi. Fotoelettrico Effetto Bohr teoria degli atomi di idrogeno simile a raggi X caratteristici e continue, Moseleys legge de Broglie lunghezza d'onda di onde di materia. JEE Programma per Aptitude Test in B. Arch. amp B. Des. disegno a mano libera. Ciò comprenderà semplice disegno raffigurante l'oggetto totale nella sua giusta forma e proporzione, struttura di superficie, la posizione relativa e dettagli dei suoi componenti in scala adeguata. vita oggetti domestici o giorno per giorno comuni utilizzabili come mobili, attrezzature, ecc dalla memoria. disegno geometrico. Esercizi di disegno geometrico contenenti linee, angoli, triangoli, quadrilateri, poligoni, cerchi, ecc studio del piano (vista dall'alto), elevazione (vista frontale o laterale) di semplici oggetti solidi come prismi, coni, cilindri, cubi, titolari di superficie strombato, ecc . percezione tridimensionale. Comprensione e l'apprezzamento delle forme tridimensionali con elementi di costruzione, colore, volume e l'orientamento. Visualizzazione tramite strutturazione oggetti in memoria. L'immaginazione e la sensibilità estetica. esercizio Composizione con determinati elementi. mappatura contesto. controllo creatività attraverso la prova di non comune innovativo con oggetti familiari. Senso di raggruppamento colore o applicazione. consapevolezza architettonica. l'interesse generale e la consapevolezza delle famose creazioni architettoniche - sia, luoghi e personalità nazionali e internazionali (architetti, designer, ecc) nei relativi domain. RMS tensione tutorial nostro tutorial sulla forma d'onda CA abbiamo guardato brevemente il valore efficace di tensione di una sinusoidale forma d'onda e ha detto che questo valore efficace dà lo stesso effetto di riscaldamento come una potenza DC equivalente e in questo tutorial si espanderà su questa teoria un po 'di più, cercando in tensioni e correnti RMS in modo più dettagliato. Il termine 8220RMS8221 sta per 8220Root-medio-Squared8221. La maggior parte dei libri definiscono questa come la 8220amount di alimentazione CA che produce lo stesso effetto di riscaldamento come power8221 equivalente DC, o qualcosa di simile in questo senso, ma un valore RMS è molto più di questo. Il valore efficace è la radice quadrata del valore medio (media) della funzione quadrata dei valori istantanei. I simboli utilizzati per la definizione di un valore RMS sono RMS V RMS o I. Il termine RMS, si riferisce solo alle tensioni sinusoidali che variano nel tempo, correnti o forme d'onda complesse erano l'ampiezza delle variazioni della forma d'onda nel tempo e non viene utilizzato per l'analisi del circuito CC o calcoli erano la grandezza è sempre costante. Quando usato per confrontare il valore di tensione RMS equivalente di una forma d'onda sinusoidale alternata che fornisce la stessa potenza elettrica ad un dato carico come circuito DC equivalente, il valore RMS è chiamato value8221 8220effective ed è generalmente presentato come: V eff o I eff. In altre parole, il valore effettivo è un valore DC equivalente che indica quante volt o ampere di corrente continua che una forma d'onda sinusoidale tempo-variante è uguale in termini di capacità di produrre la stessa potenza. Ad esempio, l'alimentazione di rete domestici nel Regno Unito è 240Vac. Questo valore è assunto per indicare un valore effettivo di 8220240 Volt rms8221. Ciò significa quindi che la tensione rms sinusoidale dalle prese di collegamento di una casa UK è in grado di produrre la stessa potenza media positiva 240 volt di tensione continua stabile come mostrato di seguito. RMS di tensione equivalente Quindi, come possiamo calcolare la tensione RMS di una forma d'onda sinusoidale. La tensione RMS di una forma d'onda sinusoidale o complesso può essere determinato da due metodi di base. Metodo grafico 1608211160which può essere utilizzato per trovare il valore RMS di qualsiasi forma d'onda non sinusoidale variabile nel tempo disegnando una serie di metà ordinate sulla forma d'onda. Metodo analitico 1608211160is una procedura matematica per trovare il valore efficace RMS o di qualsiasi tensione periodica o corrente mediante calcolo. RMS Voltage Graphical Metodo Sebbene il metodo di calcolo è lo stesso per entrambe le metà di una forma d'onda AC, per questo esempio considereremo solo il semiciclo positivo. Il valore effettivo o valore efficace di una forma d'onda può essere trovato con una quantità ragionevole di accuratezza prendendo valori istantanei equidistanti lungo la forma d'onda. La metà positivo della forma d'onda è suddiviso in un numero qualsiasi di 8220n8221 porzioni uguali o metà ordinate e più metà ordinate che sono disegnate lungo la forma d'onda, più accurata sarà il risultato finale. La larghezza di ciascuna metà ordinata sarà quindi n O gradi e l'altezza di ogni metà ordinata sarà uguale al valore istantaneo della forma d'onda in quel momento lungo l'asse x della forma d'onda. Metodo grafico Ogni valore mid-ordinate di una forma d'onda (la forma d'onda di tensione in questo caso) è moltiplicato per se stesso (quadrato) e aggiunto al successivo. Questo metodo ci dà la parte 8220square8221 o Squared dell'espressione di tensione RMS. Valore successivo questo quadrato è diviso per il numero di mid-ordinate utilizzati per darci la parte media della espressione di tensione RMS, e nel nostro semplice esempio di sopra del numero di mid-ordinate utilizzato è stato dodici (12). Infine, la radice quadrata del risultato precedente è risultato ci dia la parte principale della tensione RMS. Allora possiamo definire il termine usato per descrivere una tensione efficace (V RMS) come 8220the radice quadrata della media del quadrato della metà degli ordinate della waveform8221 tensione e questo è dato come: e per la nostra semplice esempio di cui sopra, la tensione RMS sarà calcolato come: Quindi, consente di ipotizzare che una tensione alternata ha una tensione di picco (V pk) di 20 volt e prendendo 10 valori mid-ordinata è risultata variare nel mezzo ciclo come segue: Quindi il valore RMS Voltage usando il metodo grafico è data come: 14.14 Volts. RMS Voltage Metodo analitico Il metodo grafico sopra è un ottimo modo per trovare la tensione efficace o RMS (o corrente) di una forma d'onda alternata che non è simmetrico o sinusoidale in natura. In altre parole, la forma d'onda simile a quella di una forma d'onda complessa. Tuttavia, quando si tratta di forme d'onda sinusoidale pura possiamo rendere la vita un po 'più facile per noi stessi utilizzando un modo analitico o matematica di trovare il valore efficace. Una tensione sinusoidale periodica è costante e può essere definito come V (t) Vm. cos (969.116) con un periodo di 084. Quindi possiamo calcolare il valore della radice quadrata media (RMS) di una tensione sinusoidale (V (t) ) come: Integrazione attraverso con limiti prelevati da 0 a 360 oo 8220T8221, il periodo dà: Dividendo attraverso ulteriormente 9690320322960T. il complesso equazione di cui sopra alla fine riduce giù troppo: RMS di tensione Equazione Poi la tensione RMS (V RMS) di una forma d'onda sinusoidale è determinata moltiplicando il valore della tensione di picco da 0,7071. che è lo stesso di uno diviso per la radice quadrata di due (160 18730 2 160). La tensione RMS, che può anche essere indicato come il valore effettivo, dipende dalla grandezza della forma d'onda e non è una funzione di una frequenza d'onda né il suo angolo di fase. Dall'esempio grafica sopra, la tensione di picco (V pk) della forma d'onda è stato dato come 20 Volts. Utilizzando il metodo analitico appena definita possiamo calcolare la tensione RMS come essendo: Notare che questo valore di 14,14 volt è lo stesso valore come per il metodo grafico precedente. Poi possiamo utilizzare il metodo grafico di mid-ordinate, o il metodo analitico di calcolo per trovare la tensione RMS o valori di corrente di una forma d'onda sinusoidale. Si noti che moltiplicando il picco o valore massimo dalla costante 0,7071. si applica solo alle forme d'onda sinusoidali. Per forme d'onda non sinusoidali deve essere utilizzato il metodo grafico. RMS di tensione Sintesi Quindi per riassumere. Quando si tratta di tensioni alternate (o correnti) ci troviamo di fronte al problema di come possiamo rappresentare un segnale di tensione o grandezza. Un modo semplice è quello di utilizzare i valori di picco della forma d'onda. Un altro metodo comune è quello di utilizzare il valore effettivo che è noto anche per la sua espressione più comune di Root Mean Square o semplicemente il valore RMS. La radice quadratico medio, valore efficace di una sinusoide non è la stessa come la media di tutti i valori istantanei. Il rapporto tra il valore efficace della tensione al valore massimo di tensione è uguale al rapporto tra il valore efficace della corrente al valore massimo della corrente. La maggior parte dei multimetri, sia voltmetri o amperometri, misurare il valore RMS assumendo una forma d'onda sinusoidale pura. Per trovare il valore RMS della forma d'onda non sinusoidale un RMS Multimeter8221 8220True è richiesto. Il valore RMS di una forma d'onda sinusoidale dà lo stesso effetto di riscaldamento come una corrente continua dello stesso valore. Cioè se una corrente diretta, mi passa attraverso una resistenza di ohm R. la potenza DC consumata dal resistore come calore sarà quindi I 2 watt R. Poi, se una corrente alternata, i160160Im. sin952 scorre attraverso la stessa resistenza, la potenza AC convertita in calore sarà: I 2 watt rms. R. Poi, quando si tratta di tensioni alternate e correnti, che devono essere trattati come valori efficaci se non indicato diversamente. Pertanto una corrente alternata di 10 ampere avrà lo stesso effetto di riscaldamento come una corrente di 10 ampere e un valore massimo di 14,14 ampere. Avendo ora determinato il valore efficace di una tensione alternata (o corrente) la forma d'onda, nel prossimo tutorial vedremo il calcolo del valore medio. - Punto fisso approssimazione sine Così eccomi qui, in attesa di un bel week-end tranquillo rimanere indietro, guardare un po 'televisione e magari leggere un po' ndash ma NNnnneeeEEEEEUUUuuuuuuuu Qualcuno doveva scrivere un V AV di una tensione alternata e, infine, confrontare il two. Another veloce interessante articolo su approssimazione sinusoidale. Con una sfida alla fine. E l'utilizzo di un tipo inefficiente di approssimazione. E così ora, invece di semplicemente per rilassarsi, devo passare tutto il mio week-end e la maggior parte della settimana per capire il modo migliore di farlo. Odio quando questo accade gtlt. Sarcasmo a parte, si tratta di una lettura interessante. Mentre il modo standard di calcolo di un ndash sinusoidale tramite un look-up table opere ndash e funziona bene, ce n'è solo una cosa insoddisfacente su di esso. L'approccio basato su LUT è solo hellip noioso. Non ispirato. Vigliaccamente. Poco elegante. Al contrario, trovare un algoritmo adatto per questo richiede uno sforzo e un po 'di creatività, in modo da qualcosa del genere suscita sempre il mio interesse. In questo caso la sua approssimazione sinusoidale. Id stato interrogato sul che quando ho fatto il mio articolo arctan. ma pensato che richiederebbe troppi termini per essere davvero vale la pena. Ma guardando il sig Schrauts posta (il cui sito si dovrebbe essere in visita di tanto in tanto anche theres roba buona lì) sembra è possibile ottenere una versione decente abbastanza rapidamente. I centri di articolo tutto il lavoro trovato alla discussione devmaster 5784. cui derivano le seguenti due equazioni: Queste approssimazioni funzionano abbastanza bene, ma ho la sensazione che in realtà utilizza il punto di partenza sbagliato. Ci sono approssimazioni alternative che danno risultati più accurati a quasi senza alcun costo aggiuntivo in termini di complessità. In questo post, Ill derivare alternative-ordine superiore per entrambi. Di passaggio, Ill anche parlare di alcuni degli strumenti che possono aiutare le funzioni di analizzare e, naturalmente, fornire qualche codice sorgente e fare alcuni confronti. 1.1 Simmetria Il primo strumento di analisi è la simmetria. La simmetria è in realtà uno dei più potenti concetti mai concepiti. Symmetry di tempo porta alla conservazione di simmetria energia dello spazio conduce alla conservazione della quantità di moto in un mondo 3D, la simmetria della direzione dà luogo alla legge dell'inverso del quadrato. In molti casi, la simmetria definisce fondamentalmente i tipi di funzioni siete alla ricerca di. Un tipo di simmetria è parità, e le funzioni possono avere parità pure. Prendere una funzione f (x). Una funzione è anche se f (meno x) f (x) è dispari se f (x meno) meno f (x). Questo può non sembrare impressionante, ma una parità funzioni può essere una grande fonte di informazioni e di un modo di controllo degli errori. Ad esempio, il prodotto di due funzioni pari o dispari è una funzione pari, ed un prodotto pari-dispari è dispari (confrontare prodotti numero positivenegative). Se in un calcolo si nota questo doesnt tenere vero, allora sapete theres un errore da qualche parte. La simmetria può anche ridurre in modo significativo la quantità di lavoro che devi fare. Fate il conto successivo, per esempio. Se si trova qualcosa di simile in natura su in un test, il tuo primo pensiero potrebbe essere ldquoWTF. rdquo (supponendo che tu non scappare urlando). Come accade, y 0, per ragioni di simmetria. La funzione è dispari, in modo che le parti sinistra e destra di x 0 annullano. Invece di realtà cercando di fare tutto il calcolo, si può semplicemente scrivere la risposta in una sola riga: ldquo0, cuz di symmetryrdquo. Un'altra proprietà delle funzioni simmetriche è che, se si rompe giù in sviluppi in serie, le funzioni dispari avranno solo termini strani, e anche le funzioni di avere, anche se solo i termini. Questo diventa importante nella prossima sottosezione. 1.2 polinomiale e Taylor ampliamenti ogni funzione possono essere suddivisi in una somma di funzioni più gestibili. Una scelta abbastanza ovvia per queste funzioni secondarie è in aumento potenze di x. polinomi. Il più comune di questi è serie di Taylor. che utilizza un punto di riferimento (a. f (a)) e estrapola a un altro punto certa distanza h di distanza utilizzando le derivate di f nel punto di riferimento. In forma di equazione, sembra che questo: Le probabilità sono youve parte effettivamente utilizzata della serie di Taylor nella programmazione del gioco. Su attuazione di movimento con accelerazioni, youll spesso vedere qualcosa di simile Eq 4. Questi sono i primi tre termini della sviluppo di Taylor. IHE step-size (h in Eq 3 e Delta t nell'equazione 4) è piccolo, i termini di ordine superiore avrà meno effetto sul risultato finale. Questo permette di tagliare l'espansione a breve ad un certo punto. Questo ti lascia con una breve equazione che si fa i calcoli con e una sorta di termine di errore, composto dalla parte è stata rimossa. Il termine di errore è di solito legata all'ordine youve troncato la serie a più alto è il fine, più precisa sarà la approssimazione. Se si lavora fuori la matematica per una serie sine Taylor, con uno 0 come punto di riferimento, si finisce con l'equazione 6. Si noti che tutti i poteri sono anche assenti. Questo è quello che volevo dire con la simmetria essere utile: una funzione seno è dispari, quindi, sono necessari solo i termini dispari in espansione. Ma c'è di più ad esso che quello. La precisione è dato dal maggiore ordine nel polinomio approssimante. Questo dimostra che Theres appena inutile anche a partire con qualsiasi polinomio anche alimentato, perché è possibile ottenere un ordine aggiuntivo praticamente gratis Questo è il motivo per cui utilizzando una approssimazione quadratica per un seno è un po 'inutile un cubo avrà due termini come pure, e essere più precisi per l'avvio. Solo perché la sua doesnt curva significa una parabola è l'approssimazione più adatto. 1.3 montaggio di curva (e un esempio di 3 ° ordine) Utilizzando la serie di Taylor come base per una approssimazione seno è bello, ma ha anche un problema. La serie è destinata ad avere un numero infinito di termini e quando si troncare la serie, si perde un po 'di precisione. Naturalmente, questo era prevedibile, ma questo non è il vero problema il vero problema è che se la funzione ha alcuni punti cruciali che deve passare attraverso (che è certamente vero per le funzioni trigonometriche), il troncamento si sposterà la curva lontano da quelli punti. Per risolvere questo problema, è necessario utilizzare un polinomio con coefficienti non ancora sconosciute (cioè, i moltiplicatori ai poteri) e una serie di condizioni che devono essere soddisfatte. Queste condizioni determinano il valore esatto dei coefficienti. L'espansione di Taylor può servire come base per la vostra prima approssimazione, e le condizioni definitive dovrebbe essere abbastanza vicino ai coefficienti di Taylor. Consente di provare questo per un terzo ordine (cubica) approssimazione sinusoidale. Tecnicamente, un polinomio di terzo ordine significa quattro incognite, ma. dal momento che il seno è dispari, tutti i coefficienti per le potenze addirittura sono pari a zero. Che si occupa di metà dei coefficienti già. Ho detto che la simmetria è stato utile :). Il polinomio di partenza viene ridotto a Eq 7, che ha due coefficienti a e b che deve essere determinata. Per buona misura Ive ha anche aggiunto il derivato, come questo è spesso utile avere pure. Due incognite significa che dobbiamo due condizionale per risolvere il sistema. Le condizioni più utili sono generalmente il comportamento ai confini. Nel caso di un seno, che significa guardare x 0 Andor x frac12pi. Quest'ultimo sembra essere più utile qui, quindi consente di guardare a questo. In primo luogo, sin (frac12pi) 1, quindi questo è un buon compromesso. Inoltre, sappiamo che in frac12pi un seno è piatta (un derivato di 0). Questa è la seconda condizione. Le condizioni sono elencati in Eq 8. La soluzione di questo sistema è piuttosto semplice e vi darà i valori per a e b. che sono anche riportati nella Eq 8. Si noti che i valori sono approssimativamente 5 e 30 lontano dai coefficienti Taylor puri. In Figura 1 è possibile vedere una serie di diverse approssimazioni il seno. Si noti che Ive fatto un po 'di trasformazione di coordinate per l'asse x: x z (frac12pi), in modo da z 1 significa x frac12pi. Il vantaggio di questo diventerà chiaro in seguito. Come si può vedere, il terzo ordine sviluppo di Taylor inizia tutto a destra, ma vira fuori rotta verso la fine. Al contrario, la misura del terzo ordine corrisponde al seno in entrambi i punti terminali. C'è anche il secondo ordine in forma dal sito devmaster. Come si può vedere, il ravvicinamento del terzo ordine è più vicina. approssimazioni Fig 1. Sine utilizzando 3 ° ordine Taylor e polinomi cubici parabolici per primo quadrante. z x frac12pi Ora, si ricorda che i coefficienti da Eq 8 non sono gli unici che è possibile utilizzare. Le condizioni definiscono quali sono i valori saranno condizioni differenti portano a valori differenti. Ad esempio, anziché utilizzare il derivato a frac12pi, avrei potuto usato in x 0. Ciò costituisce l'insieme di equazioni di Eq 10 e, come si può vedere, i coefficienti sono ormai diversi. Questo set è in realtà più precisa (un errore medio 0,6 invece di 1,1), ma ha anche alcune caratteristiche piuttosto sgradevoli di avere un moda massimi non a frac12pi e va oltre 1.0 questo può essere davvero inquietante se si intende utilizzare il seno in qualcosa come la rotazione. 1.4 variabili adimensionali e coordinare le trasformazioni per maggiore precisione, un polinomio di ordine superiore devono essere utilizzati. Prima di fare questo, però, Id piace parlare di un trucco più che può fare la vostra analisi matematica molto più semplice: le variabili adimensionali. Il problema con la maggior parte le quantità e le equazioni è unità. Metri, piedi, litri, galloni quei tipi di unità. Unità succhiare. Per uno, ci sono unità diverse per quantitativi identici, che può essere un dolore totale per convertire e a volte può portare al disastro. Letteralmente. Poi cè il fatto che le dimensioni delle unità sono fondamentalmente scelto a caso e non hanno nulla a che fare con la situazione fisica theyre utilizzati per. In modo da avere valori strani per le costanti come G nella legge di Newton di gravitazione universale. la velocità della luce c e la costante di Planck. h. Tenere traccia di queste cose nelle equazioni è fastidioso, soprattutto perché essi tendono ad accumularsi e tutti avrebbero preferito che theyd solo andare via. Inserisci variabili adimensionali. L'idea è che invece di utilizzare unità standard, si esprimono le quantità come rapporti in una certa dimensione significativa. Ad esempio, nella relatività spesso si ottiene v c. velocità rispetto alla velocità della luce. Equazioni diventano molto più semplice se solo denotare velocità in frazioni della velocità della luce: beta v c. Utilizzando beta nelle equazioni li semplifica enormemente e ha il vantaggio che non sei legato ad alcuna specifica velocità-unità più. La variabile adimensionale è un tipo di trasformazione di coordinate. In particolare, è un ridimensionamento della variabile originale in qualcosa di più utile. Un'altra trasformazione utile è traduzione: spostare la variabile in una posizione più adatta. Noi che incontrerete più avanti, ma prima: un esempio di variabili adimensionali. Un onda sinusoidale ha un sacco di linee di simmetria, tutto ruota attorno ai quarti di cerchi. A causa di questo, il termine che continua a mostrare un po 'ovunque è frac12pi. Questa è la dimensione caratteristica della dell'onda. Utilizzando Z X (frac12pi), tutti questi punti importanti sono ora a valori z integrali. Avendo quelli le equazioni è generalmente una buona cosa in quanto tendono a scomparire in moltiplicazioni. Guardate quello che Eq 9 diventa se espresso in termini di z Doesnt che sembrano molto più gradevole Va più profondo di quello però. Con le unità adimensionali, le unità vostre misure sono in semplicemente cessare di competenza angoli, questo significa che se sei a lavorare in radianti, gradi o brad, theyll tutto risultato nella stessa cerchia-frazione, z. Questo rende gli algoritmi di conversione in notazione a virgola fissa molto più facile. 2 derivazioni e le implementazioni nella sezione precedente, ho discusso gli strumenti utilizzati per l'analisi e ha dato un esempio di approssimazione cubica. In questa sezione Ill derivano anche ad alta precisione approssimazioni quarto e quinto ordine e mostrare alcune implementazioni. Prima di questo, però, ce n'è un po 'di terminologia per passare attraverso. Poiché più approssimazioni diverse saranno coperte, ci deve essere un modo per separare tutti loro. In linea di principio, il ravvicinamento sine sarà chiamato S n. dove n è l'ordine del polinomio. Così thatll danno S 2 S 5. Vorrei anche utilizzare S 4d per il ravvicinamento quarto ordine da devmaster. Nella derivazione della mia funzione di quarto ordine, Ill uso C n. perché ciò che effettivamente è un derivato del coseno. realizzazione del terzo ordine Iniziamo con finendo la storia della approssimazione terzo ordine. L'equazione principale è Eq 11. Poiché questa equazione è ancora piuttosto semplice, Ill rendono questa implementazione un punto fisso. Il problema principale con il giro di una funzione in virgola mobile in un punto fisso-uno è tenere traccia del tempo determinato punto durante i calcoli, sempre assicurandosi che non c'è nessun troppo pieno, ma non underflow neanche. Questo è uno dei motivi per cui ho scritto Eq 11 come è: utilizzando parentesi nidificate è possibile massimizzare l'accuratezza dei calcoli intermedi e, eventualmente, ridurre al minimo il numero di calcoli intermedi e, eventualmente, ridurre al minimo il numero di operazioni per l'avvio. Per tenere conto correttamente per le posizioni a tempo determinato punto, è necessario essere consapevoli dei seguenti fattori: La scala dei risultati (cioè l'ampiezza): 2 A La scala all'interno delle parentesi: 2 p. Ciò è necessario per mantenere le moltiplicazioni trabocchi. L'angolo di scala: 2 n. Questo è fondamentalmente il valore frac12pi nel sistema punto fisso. Utilizzando x per l'angolo, si ha Z x 2 n. Riempimento questo in Eq 11 darà la seguente: con R 2 n meno p e s n p 1minus A. Questi rappresentano il punto fisso-sposta è necessario applicare per tenere tutto a livello. Con p alto come moltiplicazione x permetterà e le unità libnds standard, porta ai seguenti numeri. Quello calcolo necessaria per primo quadrante, ma il dominio di un seno è infinita. Per ottenere il resto del dominio, è possibile utilizzare le simmetrie del seno: la periodicità 2pi e le simmetrie speculari frac12pi. Il primo è curato facendo z 4. Ciò riduce il dominio ai quattro quadranti di un cerchio. La parte successiva è un po 'complicato, quindi fate attenzione. Guardate Fig 2. S 3 opere per quadrante 0. Perché il suo antisimmetrica, sarà anche calcolare correttamente quadrante 3, che equivale a quadrante minus1. Quadranti 1 e 2 sono il problema. Come si può vedere in figura 2, ciò che deve accadere è per quei quadranti a specchio su quadranti 0 e minus1. Una riflessione di x in D è definito da Eq 13. In questo caso, questo significa che z 2 meno z Alcuni di prova devono essere fatte per vedere quando la riflessione dovrebbe avvenire. I numeri quadrante in binario sono 00, 01, 10, 11. Se si crea una verità-tavolo intorno che, youll vedere che un XOR dei due bit farà il trucco. Se si vuole veramente mettersi in mostra, è possibile combinare il modulo periodicità e il test quadrante facendo aritmetica nei bit superiori. L'implementazione è ora completa. Un'approssimazione sine tramite un terzo ordine circa. param x Angle (con 215 unitscircle) restituire valore Sine (Q12) S32 isinS3 (S32 x) S (x) x ((3ltltp) - (xxgtgtr)) gtgt s n. Q-POS per quarto di cerchio 13 A. Q-POS per l'uscita 12 p. Q-POS per parentesi intermedia 15 r 2n-p 11 s A-1-pn 17 static const int qN 13. qA 12. qP 15. qR 2 QN-qP, QS qNqP 1 - qa x xltlt (30 - qn) spostamento per gamma S32 completo (Q13-gtQ30) if ((x (xltlt 1)) lt 0) prova per quadranti 1 o 2 x (1 LTLT 31) - x ritorno x ((3 ltltqP) - (xxgtgtqR)) qS gtgt e Naturalmente, theres una versione assembly pure. Il suo solo dieci istruzioni, che credo sia in realtà più breve di una implementazione LUTlerp. versione di assembly ARM, utilizzando N13, P15, A12 Un'approssimazione sinusoidale tramite un terzo ordine circa. param R0 angolo (con 215 unitscircle) restituire valore di seno (Q12).arm. align Globale isinS3a isinS3a: mov R0. R0. LSL (30-13) R0 TEQ. R0. LSL 1 rsbmi R0. R0. 1 LTLT 31 mov R0. R0. asr (30-13) mul r1. R0. r0 mov r1. r1. asr 11 RSB r1. r1. 3 LTLT 15 mul R0. r1. R0 R0 mov. R0. asr 17 BX lr Oh aspetta, il requisito era per l'ingresso sia in radianti Q12, a destra Weeell, questo è nessun problemuccio. Non vi resta che fare la x rarr z conversione da soli. Prendete, per esempio, 2 20 (2pi). Moltiplicare x da questo dà z come una serie Q30 esattamente ciò che la prima riga nel codice C provocato. Questo significa che tutto quello che dovete fare è cambiare la prima linea di x 166.886. NDS speciale La versione di montaggio dato precedente utilizza istruzioni ARM standard, ma una delle cose interessanti è che il nucleo NDS ARM9 ha istruzioni speciali di moltiplicazione. In particolare, vi è l'istruzione SMULWx, che fa una moltiplicazione wordhalfword, dove il halfword può essere superiore o inferiore halfword dell'operando 2. risultato principale è lungo 32times16rarr48 bit, di cui solo i primi 32 bit vengono messi nella destinazione Registrare. Effettivamente è come un b gtgt16 senza problemi di overflow. Come fx, la sua anche leggermente più veloce rispetto allo standard MUL. Cambiando leggermente i parametri, i fattori di basso-shift r e s possono essere fatti 16, adattandosi perfettamente con questa istruzione, anche se la precisione interna è fatto un po 'peggio. Inoltre, il posizionamento accurato di ogni istruzione può evitare il ciclo di interblocco che accade per moltiplicazioni. Il isinS3a alternativo () diventa: versione speciale di montaggio ARM, con N13 e un sacco di Q14 Un'approssimazione sinusoidale tramite un sine terzo ordine, utilizzando le istruzioni ARM9 speciali param r0 angolo (con 215 unitscircle) restituire valore Sine (Q12).arm. align Globale isinS3a9 isinS3a9: mov R0. R0. LSL (30-13) x Q30 TEQ R0. R0. LSL 1 rsbmi R0. R0. 1 LTLT 31 smulwt r1. R0. R0 YXX Q30Q14Q16 Q28 mov r2. 3 LTLT 13 B1432 sub r1. r2. r1. asr 15 32-Y2 Q14Q28Q142 smulwt R0. r1. R0 Q14Q14Q16 Q12 Tecnicamente le sue due uniche istruzioni meno, ma è un po 'più veloce a causa della differenza di velocità tra MUL e SMULWx. 2.1 alta precisione, quinto ordine Il terzo ordine ravvicinamento effettivamente ha ancora un errore sostanziale, quindi potrebbe essere utile utilizzare un termine aggiuntivo. Questo sarebbe il ravvicinamento quinto ordine, S 5. Esso e la sua derivata sono indicati nella Eq 14. Per trovare i termini, avrò di nuovo usare z al posto di x. Le condizioni di nota sono la posizione e la derivata in z 1 e il derivato a 0. Con queste condizioni il ravvicinamento dovrebbe comportarsi amichevolmente a entrambi i bordi. Si noti che queste equazioni sono lineari rispetto ad una. b e c. il che significa che può essere risolto tramite matrici. Tecnicamente questo sistema di equazioni costituisce una matrice 3times3, ma poiché a è già immediatamente noto può essere ridotto a un sistema 2times2. Ill si risparmia i dettagli, ma conduce ai coefficienti di Eq 16. Nota la completa assenza di qualsiasi orribile pi 5 condizioni che si sarebbero apparsi se avesse deciso di non usare termini adimensionali. Eq 17 è il ravvicinamento quintic finali sotto forma questo è più accurate e più facili da implementare. L'implementazione è fondamentalmente un'estensione della funzione S 3 e lasciato come esercizio per il lettore. 2.2 ad alta precisione, quarto ordine, infine, una approssimazione del quarto ordine. Normalmente, io andrei nemmeno in considerazione questo per un sinusoidale (funzione dispari serie di potenze pari e tutto ciò che), ma dal momento che il palo devmaster li usa e hanno addirittura sembra funzionare, sembra che ci sia qualcosa per loro, dopo tutto. Il motivo per cui queste approssimazioni di lavoro è semplice: in realtà essi non approssimano un seno a tutto ciò che approssimano un seno co. E, a causa di tutte le simmetrie e paralleli con seno e coseno, uno può essere utilizzato per implementare l'altra. Eq 18 è la trasformazione è necessario eseguire per trasformare un coseno in una sinusoide. Questo può essere fatto facilmente in all'inizio di un algoritmo. Che cosa è di sinistra è quello di ricavare una approssimazione del coseno. Perché un coseno è ancora, saranno necessari, anche se solo poteri. La forma di base e il suo derivato sono riportati nella Eq 19. Per le condizioni, abbiamo ancora una volta guardiamo z 0 e z 1, che scende alla EQT di equazioni in Eq 20. Una delle cosa interessante di anche le funzioni è che il derivato a 0 è zero, quindi questo è un omaggio. Un freebie molto importante, in quanto significa che una delle simmetrie richiesti avviene automaticamente. L'insieme risultante di coefficienti sono elencati in Eq 21. Si noti che b c 1, che può essere di uso successivo. L'equazione finale per la quarta approssimazione ordine del coseno è Eq 22. Solo tre Muls e due SUB belle. Implementazione L'implementazione in virgola mobile di Eq 22 è di nuovo troppo facile citare qui, messa a fuoco in modo Ill sulle variazioni a virgola fissa. Come con S 3. è possibile combinare le posizioni a tempo determinato punto fino ad ottenere qualcosa che ti piace. In questo caso Ill bastone ad Q14 per quasi tutto per mantenere le cose semplici. Il vero trucco è quello di scoprire che cosa è necessario fare per tutti gli altri quadranti. Taglio basso a quattro quadranti è, di nuovo, facile. Per il resto, si ricordi che il ravvicinamento del coseno calcola i quadranti superiori ed è necessario capovolgere il segno per i quadranti inferiori. Se si pensa in termini del parametro che un seno ottiene, si vede che solo per dispari semicerchi il segno ha bisogno di cambiare. Tracciare questo può essere fatto con un singolo bit per bit AND o uno spostamento intelligente. Un'approssimazione sine tramite un coseno circa quarto ordine. Angolo di param x (con 215 unitscircle) restituire valore Sine (Q12) S32 isinS4 (S32 x) int c, x2, y static const int qN 13. qA 12. B 19900. C 3516 c xltlt (30 - qn) Semicerchio informazioni in carry. x - 1 ltltqN sine - gt coseno calc x xltlt (31 - qn) Maschera con PI x xgtgt (31 - qn) Nota: spostamento (a qN), firmato x xxgtgt (2 qN - 14) xx2 Per Q14 y B - (xCgtgt 14) B - X2C y (1 ltltqA) - (xygtgt 16) A - x2 (B-X2C) ritorno tlc 0. y. - y e una versione di montaggio ARM9 troppo. Come spesso accade, i suoi due soli instuctions più lunghi rispetto isinS3a9 (). versione assembly ARM di S4 C4 (gamma-1), utilizzando N13, A12 e. Varie. Un'approssimazione sine tramite un quarto ordine coseno param r0 angolo (con 215 unitscircle) restituire valore di seno (Q12).arm. align Globale isinS4a9 isinS4a9: MOV R0. R0. LSL (31-13) r0x2 ltlt31 carryx2 sub R0. R0. 1 LTLT 31 R0 - 1,0 sin lt-gt cos smulwt R1. R0. r0 r1 xx Q31Q15Q16Q30 ldr r2, 14016 C (1-pi4) ltlt16 smulwt R0. r2. r1 Cx2gtgt16 Q16Q14Q16 Q14 aggiungere r2. r2. 1 LTLT 16 B C1 RSB R0. R0. r2. asr 2 B - Cx2 Q14 smulwb R0. r1. R0 x2 (B-Cx2) Q30Q14Q16 Q28 mov r1. 1 LTLT 12 sub R0. r1. R0. asr 16 1 - x2 (B-Cx2) rsbcs R0. R0. segno 0 Flip per dispari semicerchi. Derivando approssimazioni è bello e tutto, ma c'è davvero alcun senso a meno che non si fa una sorta di test per vedere quanto bene essi svolgono. sguardo Ill a due cose: la precisione e alcuni speed-test. Per la velocità di test, Ill in considerazione solo le funzioni qui riportati insieme ad alcuni tra quelli tradizionali. La prova di precisione è fatto soltanto per primo quadrante in virgola mobile, ma i risultati deve riportare anche a un caso a virgola fissa. Infine, Ill mostrare come è possibile ottimizzare le funzioni per la precisione. velocità 3.1 Terzo e quarto ordine per il test di velocità ho calcolato il seno a 256 punti per x ISIN 0, 2pi). Ci sarà qualche loop-testa nei numeri, ma dovrebbe essere di piccole dimensioni. Le prove sono state eseguite su NDS. Le funzioni oggetto di indagine sono le tre S 3 e due S 4 funzioni date in precedenza. Ive ha anche testato la funzione di libreria standard in virgola mobile sin (), le mia propria funzione ISIN () libnds sinLerp () e che si possono trovare in arctan: sine. I tempi medi cumulativi e possono essere trovati nella tabella 1. Tabella 1. ciclo-tempi sinusoidale (approssimativamente). La prima cosa che dovrebbe essere chiaro è solo il motivo per cui noi non usare il seno in virgola mobile. Voglio dire, sul serio. There is also a clear difference between the Thumb-compiled and ARM assembly versions, the latter being significantly faster. Within the compiled versions, I find it interesting to see that the algorithmic calculations are actually faster than the LUTlerp-based implementations. I guess loading all those numbers from memory really does suck. And then theres the assembly versions. Wow. Compared to the compiled version theyre twice as fast, and up to four times as fast as the LUT-based functions. NDS timers measure half-cycles The cycle-times from Table 1 do not make sense if you count instruction cycles. For example, for isinS3a the function overhead alone should already be around 10 cycles. The thing here is that the numbers are taken from the hardware timers, which use the bus-frequency (33 MHz) rather than the ARM9 cpu (66 MHz). As such, it measures in half-cycles. For details, see gbatek:nds-timings. 3.2 Accuracy Fig 4 shows all the approximations in one graph. It only shows one quadrant because the rest can be retrieved by symmetry. Ive also scaled the sine and its approximations by 2 12 because thats the scale that usual fixed-point scale right now. And to be sure, yes, this is a different chart than Fig 1 its just hard to tell because the fourth and fifth order functions are virtually identical to the real sine line. For the high-accuracy approximations, its better to look at Fig 5, which shows the errors. Here you can clearly see a difference between S 4d and S 5 . the latter is roughly 3 times better. Theres also a large difference between the devmaster fourth-order sine and my own. The reason behind this is a difference in conditions. In my case, Ive fixed the derivatives at both end-points, which always results in an over - or underestimate. The devmasters S 4d let go of those conditions and minimized the error. Ill also do this in the next sub-section. Table 2 and Table 3 list some interesting statistics about the various approximations, namely the minimum, average and maximum errors. It also contains a Root Mean Square Deviation (RMSD), which is a special kind of distance. If you consider the data-points as a vector, the RMSD is the average Pythagorean length for each point. Table 2 is normed to 2 12. whereas Table 3 is table for the traditional floating-point sine scale. The RMSD values are probably the most useful to look at. From them you can see that there is a huge gap between the low-accuracy and high-accuracy functions of about a factor 60. And if you do your math right, all it costs is one multiplication and one addition, and maybe some extra shifts in the fixed-point case. Thats quite a bargain. Compared to that, the difference between the odd and even functions is somewhat meager: only a factor three or so. Still, it is something. If you look at the fixed-point table, you can see that the error you make with S 4d and S 5 is in the single digits. This means that this is probably accurate enough for practical purposes. Combined with the fact that even fifth order polynomials can be made pretty fast, this makes them worth considering over LUTs. Table 2 . error statistics for 2 12 sin(x) approx. 3.3 Optimizing higher-order approximations From the charts, you can see that S 4 and S 5 all err on the same side of the sine line. You can increase the accuracy of the approximation by tweaking the coefficients in such a way that the errors are redistributed in a preferable way. Two methods are possible here: shoot for a zero error average, or minimize the RMSD. Technically minimizing the RMSD is standard (it comes down to least-squares optimization), but because a zero-average allows for an analytical solution, Ill use that. In any case, the differences in outcomes will be small. First, think of what an average of a function means. The average of a set of numbers is the sum divided by the size of the set. For functions, its the integral of that function divided by the interval. When you want a zero-average for an approximation, the integral of the function and that of the approximation should be equal. With a polynomial approximation to a sine, we get: with a n reducing to the coefficients of the polynomials we had before. This can be used as an alternate condition to the derivative at 0. For S 4 and S 5 . youll end up with the following coefficients. If youre still awake and remember the devmaster S 4d coefficients, there should be something familiar about a 4 . Yes, theyre practically identical. If you optimize S 4 for the RMSD, you actually get the exact same function as S 4d . Table 4 shows the statistics for the original approximations and the new optimized versions, S 4o and S 5o . The numbers for S 4o are basically those from S 4d seen earlier. More interesting are the details for S 5o . The maximum and minimum errors are now within plusmn1. That is to say, this approximation gives values that are at most 1 off from the proper Q12 sine. This is about as good as any Q12 approximation is able to get. 4 Summary and final thoughts Heres a few things to take from all this. Symmetry is your friend. When constructing a polynomial approximation, more terms mean higher accuracy. Symmetry properties of the function approximated allow you to remove terms from consideration, simplifying the equation. Coordinate transformations are your friends too. Sometimes its much easier to work on a scaled or moved version of the original problem. If your situation has a characteristic length (or time, velocity, whatever) consider using dimensionless variables: expressing parameters as ratios of the characteristic length. This makes the initial units pretty much irrelevant. For angles, think circle-fractions. Zero and one (0 and 1) are the best values to have in your equations, as they tend to vanish to easily. Any approximation formula will have coefficients to be determined. In general, the Taylor series terms are not the best set values slightly offset from these terms will be better as they can correct for the truncation. To determine the values of the coefficients, define some conditions that need to be satisfied. Examples of conditions are values of the function and its derivative at the boundaries, or its integrals. Or you can wuss out and just dump the thing in the Excel Solver. When converting to fixed-point, accuracy and overflow comes into the fray. If you know the domain of the function beforehand, you can optimize for accuracy. Also, it helps if you construct the algorithm in a sort of recursive form instead of a pure polynomial: not a x b x 2 but x ( a x b ). Ordered like this, each new additional term only requires one multiplication and one addition extra. For fixed-point work, SMULWx is teh awesome. Even a fourth order (and presumably fifth order as well) polynomial implementation in C is faster than the LUT-based sines on the NDS. And specialized assembly versions are considerably faster still. The difference in accuracy of S 4 vs S 2 or S 5 vs S 3 is huge: a factor of 60. Going from an even to the next odd approximation only gains you a factor 3. Shame Id hoped itd be more. Unlike I initially thought, the even-powered polynomials work out quite well. This is because theyre actually modified cosine approximations. Exercises for the reader Express the parabolic approximation S 2 ( x ) of Eq 1 in terms of z . s Not hard, I promise. Implement the fixed-point version of the fifth-order sine approximation, S 5 ( x ). For the masochists: derive the coefficients for S 5 ( x ) without dimensionless variables. That is to say, with the conditions at x frac12pi instead of z 1. Solve Eq 24 and Eq 25 for minimal RMDS. Also, try to derive an analytical form for minimal RMDS I think its exists, but it may be tricky to come up with the right form. 63 thoughts on ldquo Another fast fixed-point sine approximation rdquo Comment navigation Okay, Ive uploaded two files in a zip that you can take a look at. You can find them here . sine-aprx. xls is my original filed during writing the article. Despair all ye who enter here isins3.xlsx specifically covers isins3() as its given above. Theres some magic in column K and L to emulate integer overflow, but the rest is pretty straightforward. The sheet is set up for quadrant 0, but you can fiddle with cells B2 and B3 to change the interval and angle scale. 1). sin(18) 0.309, which translates to 4F1h which is a better match to 4BCh It is not clear to me how you got 4F1 which equation is been used to get 4F1h. sin(18) 0.3090170273 is clear to me. Fixed-point just means. apply a scaling factor to everything. A Q12 (12-bit fixed-point number) value means. scale everything by 2 12. So sin(18) 4096 1265 04F1h. 18 is 0.05 circle. Look up that value in the spreadsheet to see the real sin value and compare it with isins3. 2) I have another question which needs clarification, isnt x u16 when unit circle is been divided into Q15(32768) I answered to myself this way and I want to cross check with you, -32768 to 0 -- gives sine on negative x-axis(-2pi, -3pi2, - pi, - pi2, 0) 0 to 32768 -- gives sine on positive x-axis(0, pi2, pi, 3pi2, 2pi) just because s16 range is -32768 to 32767, just for one bit on the positive side, you want to use s32, which accomodates -32768 to 32768(do you agree that, this should be mentioned as Q16 instead of Q15) and similarly for -65536 to 65536(Q17). Is my interpretation correct No, this isnt how it works. You have a circle. What you want as the domain is a full run around the circle. For radians, thatd be 0, 2pi). Or minuspi, pi), it doesnt really matter. What matters is: you want one run around the circle. Everything else just maps back to that. When you normalize that run, you get a natural 0, 1) domain, where 0 means the starting point, frac14 means frac14 circle, etc. In Q15, that 0, 1) domain translates to 0, 2 15 ). What youre proposing is a -1, 1) domain, which covers two circles. Because everything just repeats, theres no need to cover positive and negative directions separately, because the sine over -1, 0) is identical to that over 0, 1) (and 1, 2), etc). This periodicity is automatic if you use 16-bit variables and a 2 16 - unit circle. - frac14-circle then automatically maps to frac34-circle, or vice versa via integer overflow. Comment navigation